Question

8．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF=BE．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）若BF平分∠ABC，且DF=1，AF=3，求线段BF的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明AF=EC，AF∥EC，推出四边形AECF是平行四边形，再证明∠AEC=90°即可解决问题；
（2）分别在Rt△ABE，Rt△BCF中，利用勾股定理求出AE、BF即可；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形．

（2）解：∵BF平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，
∴AB=AF=3，AD=BC=4，
在Rt△ABE中，AE=CF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△BFC中，BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．