Question

如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，E为⊙O的半圆弧上一动点（不与A、B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．

小题1:求证：CD为⊙O的切线
小题2:若tan∠BAC＝，求 的值

Answer 1

小题1:证明：连接OE．       …………………………………1分
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB．
∵BC＝EC，
∴∠CBE＝∠CEB．             ……………………………………………2分
∴∠OBC＝∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OEC＝∠OBC＝90°，        ……………………………………………3分
∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线．……………………………………………4分
小题2:延长BE交AM于点G，连接AE，过点D作DT⊥BC于点T．
因为DA、DC、CB为⊙O的切线，
∴DA＝DE，CB＝CE．
在Rt△ABC中，因为tan∠BAC＝，令AB＝2x，则BC＝x．
∴CE＝BC＝x．                ……………………………………………5分
令AD＝DE＝a，
则在Rt△DTC中，CT＝CB－AD＝x－a，DC＝CE＋DE＝x＋a，DT＝AB＝2x，
∵DT²＝DC²－CT²，
∴(2x)²＝(x＋a)²－(x－a)²．  ……………………………………………6分
解之得，x＝a．               ……………………………………………7分
∵AB为直径，
∴∠AEG＝90°．
∵AD＝ED，
∴AD＝ED＝DG＝a．
∴AG＝2a．                    ……………………………………………8分
因为AD、BC为⊙O的切线，AB为直径，
∴AG∥BC．
所以△AHG∽△CHB．
∴＝＝．        ……………………………………………9分
∴＝1．                 ……………………………………………10分

切线的判定定理是圆中常考点，三角形相似是求三角形中线段长度的常用方法。