题目内容
【题目】将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板ABC的直角顶点是点A，AB=AC=3，直角板EDF的直角顶点D在BC上，且CD：BD=1：2，∠F=30°．三角板ABC固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）当α= 时，EF∥BC；
（2）当α=45°时，三角板EDF绕点D逆时针旋转至如图2位置，设DF与AC交于点M，DE交AB于点N，求四边形ANDM的面积．
（3）如图3，设CM=x，四边形ANDM的面积为y，求y关于x的表达式（不用写x的取值范围）．
【答案】（1）30°；（2）2；（3）
．
【解析】
（1）根据两直线平行，内错角相等可得
，再根据旋转的性质可得旋转角
；
（2）根据旋转的性质可得
，再根据等腰直角三角形的性质可得
，然后求出
，同理可求
，然后求出四边形
是矩形，即可得
，利用相似三角形对应边成比例列式求出
，同理求出
，最后根据矩形的面积公式列式计算即可得解；
（3）过点
作
于
，作
于
，根据同角的余角相等求出
，然后证得
，利用相似三角形对应边成比例列式求出
，然后表示出
、
，最后根据四边形的面积
列式整理即可得解．
解：（1）∵
∴
∴旋转角；
（2）当
时，
∵
是等腰直角三角形
∴
∴
同理可求
∵
∴四边形为矩形
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
同理可求
∴
；
（3）过点作于，作于，如图3:
∵
，
∴
∵
∴
∴
由（2）可知
，
∴
∵，
∴
是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形的面积
．
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