Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将矩形绕点C按顺时针方向旋转，使点B落在线段AC上，得矩形CEFG，边CD与EF交于点H，连接DG．
（1）CH=

 

．
（2）求DG的长．

Answer 1

考点：旋转的性质,勾股定理,矩形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用勾股定理列式求出AC，根据旋转的性质可得CE=BC，然后根据△ABC和△CEH相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）过点G作GM⊥CD于M，然后求出△ABC和△GMC相似，根据相似三角形对应边成比例求出CM、MG，再求出DM，然后利用勾股定理列式计算即可得到DG．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，∵AB=4，BC=3，
∴AC=

AB2+BC2

=

42+32

=5，
∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转得矩形CEFG，
∴CE=BC=3，
∵∠BAC+∠ACB=90°，∠ECH+∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ECH，
又∵∠B=∠CEH=90°，
∴△ABC∽△CEH，
∴

CH

AC

=

CE

AB

，
即

CH

5

=

3

4

，
解得CH=

15

4

；
故答案为：

15

4

；

（2）如图，过点G作GM⊥CD于M，
∵∠ACB+∠ACD=∠GCM+∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠GCM，
又∵∠B=∠GMC=90°，
∴△ABC∽△GMC，
∴

CM

BC

=

MG

AB

=

CG

AC

，
即

CM

3

=

MG

4

=

4

5

，
解得CM=

12

5

，MG=

16

5

，
∴DM=CD-CM=4-

12

5

=

8

5

，
在Rt△DMG中，DG=

DM2+MG2

=

( 8 5 )2+( 16 5 )2

=

8 5

5

．

点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记性质并确定出相似三角形是解题的关键，难点在于（2）作辅助线构造成相似三角形．