Question

如图，在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为

1

2

，

1

4

，

1

8

，…，

1

2n

的矩形彩色纸片（n为大于1的整数），请你用“数形结合”的思想，根据数形变化的规律，计算

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=

 

．

Answer 1

分析：由题意可知正方形的总面积为1，然后，通过观察未贴部分，来确定已贴部分总面积：贴

1

2

，余

1

2

；再贴

1

4

，余

1

4

，则

1

2

+

1

4

=1-

1

4

=

3

4

；再贴

1

8

，余

1

8

，则

1

2

+

1

4

+

1

8

=1-

1

8

=

7

8

，所以，

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=1-

1

2n

=

2n-1

2n

．

解答：解：∵正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
∵正方形减去未贴部分的面积既是已帖部分的面积，
∴

1

2

+

1

4

=1-

1

4

=

3

4

=

22-1

22

，
∴

1

2

+

1

4

+

1

8

=1-

1

8

=

7

8

=

23-1

23

，
∴

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=1-

1

2n

=

2n-1

2n

．
故答案为

2n-1

2n

．

点评：本题主要考查通过分析总结归纳规律，关键在于用“数形结合”的思想，分析出余下部分的面积，即可推出已帖部分的面积．