Question

如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵对称轴为直线x=2，

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）²+k．

将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：

，解得，

∴y=﹣（x﹣2）²+9=﹣x²+4x+5．

（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．

设P（x，﹣x²+4x+5），

如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x²+4x+5，

∴MN=ON﹣OM=﹣x²+4x+4．

S_{四边形MEFP}=S_梯形OFPN﹣S_△PMN﹣S_△OME

=（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE

=（x+2）（﹣x²+4x+5）﹣x•（﹣x²+4x+4）﹣×1×1

=﹣x²+x+

=﹣（x﹣）²+

∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为，此时点P坐标为（，）．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，

∴点P的纵坐标为3．

令y=﹣x²+4x+5=3，解得x=2±．

∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．

四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．

如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M₁（1，1）；

作点M₁关于x轴的对称点M₂，则M₂（1，﹣1）；

连接PM₂，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM₂最小．

设直线PM₂的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M₂（1，﹣1）代入得：

，解得：m=，n=﹣，

∴y=x﹣．

当y=0时，解得x=．∴F（，0）．

∵a+1=，∴a=．

∴a=时，四边形PMEF周长最小．