Question

【题目】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，过点 D 作∠ADE＝∠A，交 AC 于点 E．

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；

（2）若 ，BC=15cm,求 DE 的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE 的长为 10．

【解析】

（1）连接OD，只要证明∠ODE＝90°即可；（2）先由求出AC长，由切线长定理可知ED＝DC，由等角对等边可知DE＝AE，因此AE＝CE＝DE，易求DE 的长.

（1）证明：连接 OD，如图，

∵∠C＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB， 而∠ADE＝∠A，

∴∠ADE+∠ODB＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE 是⊙O 的切线；

（2）解：在 Rt△ABC 中

∴AC＝×15＝20，

∵ED 和 EC 为⊙O 的切线，

∴ED＝DC，

而∠ADE＝∠A，

∴DE＝AE，

∴AE＝CE＝DE

AC＝10，即 DE 的长为10．