Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：

①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S_△DEF=．

其中正确的是　　（写出所有正确结论的序号）．

 

 

Answer 1

【答案】

①②④．

【解析】

试题分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；

②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；

③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；

④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S_△DEF=．

①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴=，DG=CG，

∴∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），

∴△ADF∽△AED；

故①正确；

②∵=，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=DF+CF=8，

∴CG=DG=4，

∴FG=CG﹣CF=2；

故②正确；

③∵AF=3，FG=2，

∴AG==，

∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，

∴tan∠E=；

故③错误；

④∵DF=DG+FG=6，AD==，

∴S_△ADF=DF•AG=×6×=，

∵△ADF∽△AED，

∴，

∴=，

∴S_△AED=，

∴S_△DEF=S_△AED﹣S_△ADF=；

故④正确．

故答案为：①②④．

考点：1. 相似三角形的判定与性质；2.垂径定理；3.圆周角定理．