题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系内，抛物线
与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，顶点为D.点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）.
（1）点M为抛物线对称轴上一点，点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当
的周长最小时，求
面积的最大值；
（2）在（1）的条件下，当的面积最大时，过点E作
轴，垂足为N，将线段CN绕点C顺时针旋转90°得到点N，再将点N向上平移
个单位长度.得到点P，点G在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点H，使点D，P，G，H构成菱形.若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
，
，
【解析】
（1）连接QA交抛物线对称轴于M，此时△MQC周长最小，可求出M（1，
），再求出直线CM解析式y=-
x+1，设点E（t，-t2+2t+3），根据S△ECM=
ES（C横坐标-M横坐标）可得出S△ECM=-（t-
）2+，即S△CME最大值=；
（2）根据题意可求得P（3，2），利用两点间距离公式或勾股定理得DP=2
，由菱形性质得PH∥DG∥y轴，PH=DP=2，分两种情况：①点H在点P上方；②点H在点P下方．
（1）令y=0，得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），C（3，0），
令x=0，得y=3，
∴B（0，3），
如图1，过Q作QF⊥x轴于F，
∵QF∥OB，
∴△CQF∽△CBO，
∴
∵点Q为线段BC的三等分点（靠近点C），
∴
∴
，
∴QF=CF=1，
∴Q（2，1），
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），抛物线对称轴x=1
连接AQ交抛物线对称轴于M，则M（1，），此时△MQC周长最小．
设直线CM解析式为y=kxb，则
，解得：
；
∴y=-x+1，
设E（t，-t2+2t+3）为抛物线对称轴右侧且位于第一象限内的点，过E作EN⊥x轴于N，EN交CM于S，
则，S（t，-t+1），
∴ES=-t2+2t+3-（-t+1）=-t2+
t+2，
∴S△CME＝×2ES=-t2+t+2=-（t-）2+，
∵-1＜0，
∴当t=时，S△CME最大值=，
（2）存在．如图2，由（1）知CN=OC-ON=3-=
，由旋转得CN′=CN=，CN′⊥x轴，
由题意得CP⊥x轴，CP=CN′+N′P=2，
∴P（3，2）
∴DP=
，
∵四边形DPHG是菱形，
∴DG=PH=DP=2，PH∥DG，
∴H（3，2-2），
如图3，
∵四边形DPHG是菱形，
∴DG=PH=DP=2，PH∥DG，
∴H（3，2+2）．
如图4，四边形DPGH是菱形，P与H关于抛物线对称轴对称，
∴H（-1，2）．
如图5，过点P作PG⊥直线x=1于G，作DH⊥直线x=1，过P作PH⊥DH于H，
∵PH=DG=DH=PG=2，∠PGD=90°
∴四边形DPGH是菱形，
∴H（3，4）
综上所述，点H的坐标为（3，2-2）或（3，2+2）或（-1，2）或（3，4）．
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