Question

如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE平分∠CDB交BC于E，交AC于F，则BC：OF=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,角平分线的性质

专题：

分析：根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BDC=45°，根据角平分线的定义可得∠BDE=∠CDE=22.5°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠OFD=∠CED=67.5°，根据对顶角相等可得∠OFD=∠CFE，从而得到∠CED=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，设正方形的边长为2x，根据正方形的性质求出OC=OD=

2

x，再用OF表示出CF，即CE，然后利用△ODF和△CDE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF，然后求出比值即可．

解答：解：在正方形ABCD中，∠BDC=45°，
∵DE平分∠CDB，
∴∠BDE=∠CDE=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠OFD=∠CED=90°-22.5°=67.5°，
∵∠OFD=∠CFE（对顶角相等），
∴∠CED=∠CFE，
∴CE=CF，
设正方形的边长为2x，
则OC=OD=

2

2

×2x=

2

x，
∴CF=

2

x-OF，
∵∠BDE=∠CDE，∠DOF=∠DCE=90°，
∴△ODF∽△CDE，
∴

OF

CE

=

OD

CD

，
即

OF

2 x-OF

=

2 x

2x

，
解得OF=（2-

2

）x，
∴BC：OF=2x：（2-

2

）x=2+

2

．
故答案为：2+

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，设出正方形的边长并表示出OF是本题的难点．