Question

如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C₁DE 的位置。
（1）求C₁点的坐标；
（2）求经过三点O、A、C₁的抛物线的解析式；
（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；
（4）抛物线上是否存在一点M，使得S_△AMF∶S_△OAB=16∶3，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

图①                                            图②                                                            图③

Answer 1

解：（1）C₁（3，）；
（2）∵抛物线过原点O（0，0），设抛物线解析式为y=ax²+bx，
把A（2，0），C（3，）带入，得
解得a=，b=-
∴抛物线解析式为y=x²-x；
（3）∵∠ABF=90°，∠BAF=60°，
∴∠AFB=30° 又AB=2，
∴AF=4，
∴OF=2，
∴F（-2，0），
设直线BF的解析式为y=kx+b，
把B（1，），F（-2，0）带入，得
解得k=，b=，
∴直线BF的解析式为y=x+；
（4）①当M在x轴上方时，存在M（x，x²-x）
S_△AMF：S△_OAB=[×4×（x²-x）]：[×2×4]=16：3
得x²-2x-8=0，
解得x₁=4，x₂=-2，
当x₁=4时，y=×4²-×4=；
当x₂=-2时，y=×（-2）²-×（-2）=，
∴M₁（4，），M₂（-2，）
②当M在x轴下方时，不存在，设点M（x，x²-x）
S_△AMF：S_△OAB=[-×4×（x²-x）]：[×2×4]=16：3
得x²-2x+8=0，b²-4ac＜0，无解，
综上所述，存在点的坐标为M₁（4，），M₂（-2，）。