Question

如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E为x轴上的点，且S_△AOE=

16

3

，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值．
（2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形．
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

解答：解：（1）解x²-7x+12=0，得x₁=4，x₂=3．
∵OA＞OB
∴OA=4，OB=3．
在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=

OA2+OB2

=5，
∴sin∠ABC=

OA

AB

=

4

5

．

（2）∵点E在x轴上，S_△AOE=

16

3

，即

1

2

AO×OE=

16

3

，
解得OE=

8

3

．∴E（

8

3

，0）或E（-

8

3

，0）．
由已知可知D（6，4），设y_DE=kx+b，
当E（

8

3

，0）时有

4=6k+b 0= 8 3 k+b

，
解得

k= 6 5 b=- 16 5

．
∴y_DE=

6

5

x-

16

5

．
同理E（-

8

3

，0）时，y_DE=

6

13

x+

16

13

．
在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=

8

3

；
在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6；
∵

OE

OA

=

OA

OD

，
∴△AOE∽△DAO．

（3）根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-

4

3

x+4，直线L过（

3

2

，2），且k值为

3

4

（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），
L解析式为y=

3

4

x+

7

8

，联立直线L与直线AB求交点，
∴F（-

75

14

，-

22

7

），
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=

24

5

，勾股定理得出，AN=

7

5

，做A关于N的对称点即为F，AF=

14

5

，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=

14

5

×

3

5

=

42

25

，
∴F（-

42

25

，

44

25

）．
综上所述，满足条件的点有四个：F₁（3，8）；F₂（-3，0）；
F₃（-

75

14

，-

22

7

）；F₄（-

42

25

，

44

25

）．

点评：一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比；相似三角形对应边成比例；给定两个点作为菱形的顶点，那么这两个点可能是菱形的对角所在的顶点，也可能是邻角所在的顶点．