Question

将半径4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱，如图
（1）求圆锥的底面半径；
（2）若内接圆柱的底面半径为x，侧面积为y，请建立y与x的函数关系式；
（3）当圆柱的侧面面积最大时，求出圆柱的底面半径．

Answer 1

考点：圆锥的计算,二次函数的应用

专题：

分析：（1）利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求得圆锥的底面半径即可；
（2）表示出上面小圆锥的高，从而表示出圆柱的高，然后利用圆柱的侧面积公式表示出y关于x的二次函数；
（3）将所得二次函数配方后即可确定最值并求得圆柱的底面半径．

解答：解：（1）设圆锥的底面半径为r，则2πr=4π，
解得：r=2，
故圆锥的底面半径为2cm；

（2）∵圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，
∴圆锥的高为2

3

cm，
如图：作OC⊥AC交DE于E点，
∵DE∥AC，
∴

ED

AC

=

OE

OC

，
设DE=x，
则：OE=

3

x，
∴EC=2

3

-x，
∴y=2xπ（2

3

-x）=-2πx²+4

3

πx；

（3）∵y=-2π（x²-2

3

x+3-3）=-2π（x-

3

）²-2

3

x+6π，
∴当底面半径为

3

cm时面积最大．

点评：本题考查了圆锥的计算及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出二次函数模型，难度不大．