题目内容

在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．

（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：
三三角形角形角的已知量 $数学公式$ $数学公式$
图2 ∠A=2∠B=90°
图3 ∠A=2∠B=60°
（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明；
（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长．（直接写出结论即可）

解：（1）

三角形	角的已知量	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
图2	∠A=2∠B=90°	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
图3	∠A=2∠B=60°	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

；

（2）猜测a，b，c的关系是 $\text{[math]}$ 延长CA至D，使AD=AB（如图4）；
∵AD=AB，∴∠D=∠ABD，
∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，
∵∠CAB=2∠CBA，
∴∠D=∠CBA，
又∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ．

（3）①当a=5，b=6时，
由（2）得： $\text{[math]}$ ，解得c=- $\text{[math]}$ （不合题意舍去）；
②当a=6，b=5时，
$\text{[math]}$ ，解得c= $\text{[math]}$ ；
③当a=5，c=6时，
$\text{[math]}$ ，解得b= $\text{[math]}$ -3（负值舍去）；
④当a=6，c=5时，
$\text{[math]}$ ，解得b=4（负值舍去）；
⑤当b=5，c=6时，
$\text{[math]}$ ，解得a= $\text{[math]}$ （负值舍去）；
⑥当b=6，c=5时，
$\text{[math]}$ ，解得a= $\text{[math]}$ （负值舍去）．
综上可知：第三边的长为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或4或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）图2的三角形，显然是等腰直角三角形，可设斜边c为2，那么a=b= $\text{[math]}$ ，即可求得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值，图3的解法同上．
（2）由（1）的结论，可猜测a、b、c的等量关系应该是 $\text{[math]}$ ，可通过构造相似三角形来证明；延长CA至D，是得AD=AB；那么∠CAB=2∠A=2∠CBA，再加上公共角∠C，即可证得△CBD∽△CAB，由此得到所求的结论．
（3）将已知的边长代入（2）的结论进行计算即可．
点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，要注意的是（3）题的情况较多，一定要分类讨论，不要漏解．