Question

下列命题：
①若b=2a+

1

2

c，则一元二次方程ax²+bx+c=0必有一根为-2；
②若ac＜0，则方程cx²+bx+a=0有两个不等的实数根；
③若二次三项式4x²+kx+3是一个完全平方式，则k=4

3

；
④若一元二次方程ax²+bx+c=1的两根之和为p，两根平方和为q，则aq+pb+2c=2．
其中正确的个数有（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题与定理

专题：

分析：利用一元二次方程的根的定义、根的判别式及根与系数的关系进行判断后即可得到正确的选项；

解答：解：①由b=2a+

1

2

c得4a-2b+c=0，所以一元二次方程ax²+bx+c=0必有一根为-2，故正确；
②若ac＜0，则b²-4ac＞0，则方程cx²+bx+a=0有两个不等的实数根，故正确；
③若二次三项式4x²+kx+3是一个完全平方式，则k=±4

3

，故错误；
④若一元二次方程ax²+bx+c=1的两根之和为p，两根平方和为q，
∴设方程ax²+bx+c=0的两个实根为x₁，x₂，
则为x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
又∵p=x₁+x₂=-

b

a

，q=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

b2

a2

-

2c

a

=

b2-2ac

a2

，
则aq+pb+2c=a（

b2-2ac

a2

）+（-

b

a

）×b+2c=0，故错误，
故选B．

点评：本题考查了一元二次方程的根的定义、根的判别式及根与系数的关系，难度较大，较抽象．