Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC²=CE•CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2

2

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：计算题

分析：（1）由DC²=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC=DC；
（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到

PC

CD

=

PO

OA

=2，则PC=2CD=4

2

，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到

4 2

3r

=

r

6 2

，再利用比例的性质可计算出r的值．

解答：（1）证明：∵DC²=CE•CA，
∴

DC

CE

=

CA

DC

，
而∠ACD=∠DCE，
∴△CAD∽△CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC；
（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，
∵CD=CB，
∴

CD

=

CB

，
∴∠BOC=∠BAD，
∴OC∥AD，
∴

PC

CD

=

PO

OA

=

2r

r

=2，
∴PC=2CD=4

2

，
∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，
∴△PCB∽△PAD，
∴

PC

PA

=

PB

PD

，即

4 2

3r

=

r

6 2

，
∴r=4，
即⊙O的半径为4．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．