Question

19．如图，已知△ABC中，∠B是锐角，且∠B=2∠C，AD是BC边上的高．求证：AB+BD=DC．

Answer 1

分析 先在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，利用∠B=2∠C，求证△ACE是等腰三角形，然后利用等量代换即可求证结论．

解答 证明：在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠AEB=∠B，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
∴∠EAC=∠AEB-∠C=2∠C-∠C=∠C，
∴AE=CE，
∴CE=AE=AB，
∴DC=DE+CE=AB+BD，
∴AB+BD=DC．

点评 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，证明此题的关键是在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，这也是此题的突破点．