Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。

（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
（3）若该抛物线在这一段位于直线l的上方，并且在这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。

Answer 1

（1）（2）（3）

解：（1）∵当时，。∴A。
∵抛物线对称轴为，B。
（2）易得A点关于抛物线对称轴的对称点为，则直线l经过、B，
设直线l的解析式为，
则，解得。
∴直线l的解析式为。
（3）∵抛物线对称轴为。
∴抛物线在这一段与在这一段关于对称轴对称。
结合图象可以观察到抛物线在这一段位于直线l的上方在这一段位于直线l的下方，
∴抛物线与直线l的交点横坐标为－1，代入直线l的解析式得。
∴抛物线过点（－1，4），代入抛物线的解析式得，解得。
∴抛物线解析为。
（1）令即可求得A点坐标，根据公式求出抛物线对称轴即可求得B点坐标。
（2）根据对称的性质求出A点关于抛物线对称轴对称的点的坐标，从而应用待定系数法即可求出直线l的解析式。
（3）由直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，和抛物线在这一段位于直线l的上方，并且在这一段位于直线AB的下方，得出抛物线在这一段位于直线l的上方在这一段位于直线l的下方，从而得出抛物线与直线l的交点横坐标为－1，进而先代入直线l的解析式求出交点纵坐标，再代入抛物线的解析式求出m，即可得到抛物线的解析式。