如图.在Rt△OAB中.∠A=90°.OA=4.AB=3.动点M从点A出发.动点M从点A出发.以每秒1个单位长度的速度.沿AO向终点O移动,同时点N从点O出发.以每秒$\frac{5}{4}$个单位长度的速度.沿OB向终点B移动．设运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示点N到OA的距离,(2)设△OMN的面积是S.求S与t之间的函数表达式,当x为何值时.S有最� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，OA=4，AB=3，动点M从点A出发，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒$\frac{5}{4}$个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点N到OA的距离；
（2）设△OMN的面积是S，求S与t之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）由勾股定理计算出OB，再用三角函数即可；
（2）得到S与t的函数关系，从而确定出面积最大值；
（3）要使△OMN是直角三角形，一个直角三角形和它相似，即可；

解答解：（1）如图1，在Rt△OAB中，OB=$\sqrt{{OA}^{2}{+AB}^{2}}$=5，
∴sin∠O=$\frac{AB}{OB}$=$\frac{3}{5}$
∴点N到OA的距离为ON×sin∠O=$\frac{5}{4}$t×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{4}$t；
（2）S=$\frac{1}{2}$（4-t）×$\frac{3}{4}$t=-$\frac{3}{8}$t²+$\frac{3}{2}$t=-$\frac{3}{8}$（t-2）²+$\frac{3}{2}$，
当t=2时，S有最大值，
最大值为S=$\frac{3}{2}$．
（3）∵△ABO为直角三角形，
∴以M、N、O为顶点的三角形和△ABO相似时，△OMN是直角三角形；
当△OMN∽△OAB时，
∴$\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}$，
∴$\frac{4-t}{4}=\frac{\frac{5}{4}t}{5}$，
∴t=2，
当△OMN∽△OBA时，
∴$\frac{OM}{OB}=\frac{ON}{OA}$，
∴$\frac{4-t}{5}=\frac{\frac{5}{4}t}{4}$，
∴t=$\frac{64}{41}$，
∴t=2或t=$\frac{64}{41}$时，△OMN是直角三角形