Question

4．如图，已知一次函数y=$\frac{1}{2}x+1$的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点：抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+c$的图象与一次函数y=$\frac{1}{2}x+1$的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D的坐标为（1，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）求四边形BDEC的面积S；
（4）在x轴上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在一次函数y=$\frac{1}{2}x+1$中，令x=0，即可求出点B的坐标；
（2）将点B、D的坐标代入二次函数解析式，求出b、c的值，即可求出二次函数的解析式；
（3）两解析式联立方程求得B、C的坐标，令y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1=0，求得D、E的坐标，然后根据梯形和三角形的面积公式求得即可；
（4）设P（x，0），求得PB²=x²+1，PC²=（x-4）²+9，BC²=4²+（3-1）²=20，然后分三种情况分别讨论求得即可．

解答 解：（1）∵一次函数y=$\frac{1}{2}x+1$与y轴的交点为B，
令x=0，可得y=1，
∴B（0，1）；
（2）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{2}+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1；
（3）∵二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴C（4，3），
解$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1=0，得x=1和x=2，
∴D（1，0），E（2，0），
∴S=$\frac{1}{2}$（1+3）×4-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$（4-2）×3=4.5；
（4）设P（x，0），
∵B（0，1），C（4，3），
∴PB²=x²+1，PC²=（x-4）²+9，BC²=4²+（3-1）²=20，
①当∠PBC=90°时，则PB²+BC²=PC²，
即x²+1+20=（x-4）²+9，
解得x=$\frac{1}{2}$，
∴P₁（$\frac{1}{2}$，0）；
②当∠PCB=90°时，则PC²+BC²=PB²，
即x²+1=（x-4）²+9+20，
解得x=$\frac{11}{2}$，
∴P₂（$\frac{11}{2}$，0）；
③当∠BPC=90°时，则PB²+PC²=BC²，
即x²+1+（x-4）²+9=20，
解得x=1或x=3，
∴P₃（1，0），P₄（3，0）；
∴在x轴上存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，0）或（$\frac{11}{2}$，0）或（1，0）或（3，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，涉及了利用待定系数法求二次函数的解析式、函数图象交点坐标、四边形的面积以及勾股定理的应用等知识，难度适中．