Question

如图，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）首先连接OC，由直线EF切⊙O于点C，AD⊥EF，易证得OC∥AD，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠BAC，即AC平分∠BAD；
（2）由AB是⊙O的直径，易证得△OAC是等边三角形，然后由勾股定理求得AD的长，又由S_阴影=S_梯形OCDA-S_扇形OCA，即可求得答案．

解答：（1）证明：连接OC，
∵直线EF切⊙O于点C，
∴OC⊥EF，
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠BAC，
即AC平分∠BAD；

（2）解：∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°．
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°，
∵在Rt△ACD中，AD=

1

2

AC=1，
由勾股定理得：DC=

3

，
∴S_阴影=S_梯形OCDA-S_扇形OCA=

1

2

×（2+1）×

3

-

60•π•22

360

=

3 3

2

-

2

3

π
∴阴影部分的面积为：

3 3

2

-

2

3

π．

点评：此题考查了切线的性质、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．