Question

如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，弦AC∥OP．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若BC=8，AB=10，求BP的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据平行线性质和等腰三角形性质求出∠POC=∠POB，证△PCO≌△PBO，推出∠PCO=∠PBO=90°即可；
（2）根据勾股定理求出AC，证△ACB∽△OBP，推出

BP

BC

=

OB

AC

，代入求出即可．

解答：（1）证明：∵PB切圆O于B，
∴∠PBO=90°，
连接OC，
∵AC∥OP，
∴∠A=∠POB，∠ACO=∠COP，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COP=∠BOP，
∵CO=BO，OP=OP，
∴△PCO≌△PBO，
∴∠PCO=∠PBO=90°，
∵OC过圆心O，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：∵AB为圆O的直角，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，BC=8，
∴OB=5，
由勾股定理得：AC=

AB2- BC2

=6，
∵∠ACB=90°=∠PBO，
∵∠A=∠POB，
∴△ACB∽△OBP，
∴

BP

BC

=

OB

AC

，
∴

BP

8

=

5

6

，
解得：BP=

20

3

，
答：BP的长是

20

3

．

点评：本题主要考查对相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．