Question

3．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，DH⊥EF于H，DA=HD，EH=2，HF=3．则正方形ABCD的边长为6．

Answer 1

分析 设正方形的边长为a，由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△HDE，得出AE=EH，同理Rt△CDF≌Rt△HDF，得出CF=HF=3，得出BE=a-2，BF=a-3，EF=HE+HF=5，在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，解方程求出a即可．

解答 解：设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=90°，
∵DH⊥EF，
∴∠DHE=∠DHF=90°，
在Rt△ADE和Rt△HDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{AD=HD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△HDE（HL），
∴AE=EH=2，
同理：Rt△CDF≌Rt△HDF，
∴CF=HF=3，
∴BE=a-2，BF=a-3，EF=HE+HF=5，
在Rt△BEF中，BE²+BF²=EF²，
即（a-2）²+（a-3）²=5²，
解得：a=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的运用．关键是利用全等三角形的性质，把条件集中到直角三角形中，运用勾股定理求解．