Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交AC的延长线于点E．求证：
（1）DE⊥AC；
（2）若AE=4，ED=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD（1分），
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠ODA=∠CAD（3分），
∴OD∥AE，
又∵DE是⊙O的切线（4分），
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；

（2）解：连接BD
在Rt△AED中，由勾股定理得：（5分）
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∵∠CAD=∠DAO，（7分）
∴△AED∽△ADB，（8分）
∴，（9分）
∴，
∴⊙O的半径为2.5．
分析：（1）连接OD，只需证明OD⊥DE即可；
（2利用勾股定理求出AD，再得出△AED∽△ADB，进而求出半径即可．
点评：考查了切线的判定定理，能够综合运用角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．