Question

12．如图，在等腰直角△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，∠MCN的两边与边AB交于M，N两点，且∠MCN=45°，给出以下四个结论：①AB=$\sqrt{2}$AC；②△AMC∽△BNC；③若T是MN的中点，则CM²+TN²=MT²+NC²；④S_△CAM+S_△CBN=S_△CMN．其中正确的结论有①③．（填上你认为所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 此题要根据等腰三角形的性质求解，由于△ABC是等腰三角形，显然①的结论是成立的；②题中，通过已知条件只能得到一对角相等，故不能判定两三角形相似，②的结论是不成立的；③可连接CT，利用勾股定理求证；④分别表示出三个三角形的面积，然后判断它们是否符合题目给出的等量关系即可．

解答 解：①∵△ABC是等腰三角形，∴AB=$\sqrt{2}$AC，故①正确；
②∵BC=AC，∠ACB=90°
∴∠A=∠B=45°，
∵∠MCN=45°，
∴∠ACM+∠BCN=45°，
而∠ACM≠∠BCN，
∴△ACM与△MCN不一定相似，故②错误；
③连接CT；
由勾股定理得：CM²-MT²=CT²，NC²-NT²=CT²，
联立两式可得：CM²-MT²=NC²-NT²，即CM²+TN²=NC²+MT²；
故③正确；
④S_△ACM=$\frac{1}{2}$AM•CT，S_△BNC=$\frac{1}{2}$BN•CT，S_△MNC=$\frac{1}{2}$MN•CT，
∵AM+BN≠MN，∴S_△ACM+S_△BCN≠S_△MNC，
故④错误；
故答案为：①③．

点评 此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及相似三角形判定和性质，牢固掌握定理是解题的关键．