Question

【题目】如图（1），中，，，，的平分线交于，过点作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，同时动点从点出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时、同时停止运动．

（1）请写出的长为_______，的长为_______；

（2）当在上在上运动时，如图（2），设与交于点，当为何值时，为等腰三角形？求出所有满足条件的值．

Answer 1

【答案】（1）OC＝2，BC＝2；（2）t= 或

【解析】

（1）求出∠B，根据直角三角形性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC，即可得出答案；

（2）有三种情况：①OM＝PM时，求出OP＝2OQ，代入求出即可；②PM＝OP时，此时不存在等腰三角形；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG＋QG＝t2，即可求出答案．

（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，的平分线交于，
∴∠B＝30°，
∴OA＝

由勾股定理得：AB＝3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，
∴OC＝BC，
在△AOC中，AO2＋AC2＝CO2，
∴()2＋（3OC）2＝OC2，
∴OC＝2＝BC，
答：OC＝2，BC＝2．
（2）解：如图，∵ON⊥OB，

∴∠NOB＝90°，
∵∠B＝30°，∠A＝90°，
∴∠AOB＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴∠NOC＝90°30°＝60°，
①OM＝PM时，
∠MOP＝∠MPO＝30°，
∴∠PQO＝180°∠QOP∠MPO＝90°，
∴OP＝2OQ，
∴2（t2）＝4t，
解得：t＝

②PM＝OP时，
此时∠PMO＝∠MOP＝30°，
∴∠MPO＝120°，
∵∠QOP＝60°，
∴此时不存在；
③OM＝OP时，
过P作PG⊥ON于G，
OP＝4t，∠QOP＝60°，
∴∠OPG＝30°，
∴GO＝（4t），PG＝（4t），
∵∠AOC＝30°，OM＝OP，
∴∠OPM＝∠OMP＝75°，
∴∠PQO＝180°∠QOP∠QPO＝45°，
∴PG＝QG＝（4t），

∵OG＋QG＝OQ，
∴（4t）+（4t）＝t2，
解得：t＝

综合上述：当t为 或时△OPM是等腰三角形．