Question

2．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B₁A₁C₁=30°，固定三角板A₁B₁C₁，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），AB与A₁C、A₁B₁分别交于点D、E，AC与A₁B₁交于点F．
（1）①填空：当旋转角α=20°时，∠BCB₁=160度；
②当旋转角α等于多少度时，AB⊥A₁B₁？请说明理由；
（2）当旋转角α=60°，如图3所示的位置，BC与A₁B₁有何位置关系，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）①求出∠BCD=∠FCB₁=70°，即可解决问题．
②当旋转角等于α=30°时，AB⊥A₁B₁，只要证明∠A₁CB=180°-∠BDC-∠B=60°即可解决问题．
（2）当旋转角α=60°时，BC∥A₁B₁，只要证明∠A₁=∠BCD=30°即可．

解答 解：（1）①如图2中，∵∠ACB=∠A₁B₁C₁=90°，∠ACA₁=20°，
∴∠BCD=∠FCB₁=70°，
∴∠BCB₁=70°+20°+70°=160°，
故答案为160．
②当旋转角等于α=30°时，AB⊥A₁B₁．
理由如下：如图2中，∵AB⊥A₁B₁，则∠AED=90°，
∴∠A₁DE=90°-∠CA₁B₁=90°-30°=60°，
∴∠BDC=∠A₁DE=60°，
∵∠B=180°-∠ACB-∠BAC=60°，
∴∠A₁CB=180°-∠BDC-∠B=60°，
∴∠ACA₁=30°，
即当旋转角等于α=30°时，AB⊥A₁B₁．
 
（2）当旋转角α=60°时，BC∥A₁B₁，
理由：如图3中，∵α=60°，即∠ACA₁=60°，
∴∠BCD=90°-∠A₁CA=30°，
∴∠A₁=∠BCD=30°
∴BC∥A₁B₁．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是灵活应用旋转不变性解决问题，属于中考常考题型．