Question

如图，△ABD和△CBD有公共边BD，且∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：BD²=AB²+BC²．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：要证明BD²=AB²+BC²，想到勾股定理，由于BD，AB，BC不在同一个三角形中，连接AC，将△DCB绕点C旋转60°到△ACE的位置，连接EB，证明△ABE是直角三角形即可．

解答：证明：如图，连接AC，
∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△ADC是正三角形．
∴DC=CA=AD．
将△DCB绕点C顺时针旋转60°到△ACE的位置，连接EB，
∴DB=AE，CB=CE，∠BCE=∠ACE-∠ACB=∠BCD-∠ACB=∠ACD=60°，
∴△CBE为正三角形．
∴BE=BC，∠CBE=60°．
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE²=AB²+BE²．
∴BD²=AB²+BC²．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是能够充分运用旋转的性质，把要证明的线段转换到一个三角形中，根据旋转的性质发现一个直角三角形，再根据勾股定理即可证明．