Question

如图，O是直线AB上的点，
（1）若OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，求∠DOE的度数；
（2）若∠DOE=90°，OD平分∠AOC，OE是否平分∠BOC？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，所以∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，所以∠DOE的度数是平角度数的一半．
（2）要证OE平分∠BOC，只需证∠BOE=∠COE，由于∠DOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°，进而可以证得∠COE=∠BOE．

解答：解：（1）∵OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，
∴∠DOC=

1

2

∠AOC，∠COE=

1

2

∠BOC，
∴∠DOE=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOC=

1

2

∠AOB，
又∵点O是直线AB上的点，
∴∠DOE=

1

2

∠AOB=90°．

（2）若∠DOE=90°，OD平分∠AOC，OE也平分∠BOC，
其理由如下：
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠DOC=

1

2

∠AOC，
又∠DOE=90°，
∴∠COE=90°-∠DOC=90°-

1

2

∠AOC，
又O是直线AB上的点，
∴∠BOC=180°-∠AOC，
即

1

2

∠BOC=90°-

1

2

∠AOC，
∴∠COE=

1

2

∠BOC，
即OE是∠COB的平分线．

点评：解决角的比较与运算类问题时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键．