Question

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＞0）．

⑴求b的值．

⑵求x₁•x₂的值

⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M₁、N₁，判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

Answer 1

解：⑴b=1

⑵显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=－4

⑶△M₁FN₁是直角三角形

由题知M₁的横坐标为x₁，N₁的横坐标为x₂，设M₁N₁交y轴于F₁，则F₁M₁•F₁N₁

=－x₁•x₂=4

而FF1=2，所以F₁M₁•F₁N₁=F₁F²，另有∠M₁F₁F=∠FF₁N₁=90°，易证Rt△M₁FF₁∽Rt△N₁FF₁

得∠M₁FF₁=∠FN₁F₁，故∠M₁FN₁=∠M₁FF₁＋∠F₁FN₁=∠FN₁F₁＋∠F₁FN₁=90°，所以△M₁FN₁是直角三角形．

⑷ 存在，该直线为y=－1．理由如下：_——

直线y=－1即为直线M₁N_1．

如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN₁=， NF=，得NN₁=NF

同理MM₁=MF．

那么MN=MM₁＋NN₁，作梯形MM₁N₁N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=

（MM₁＋NN₁）=MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．