Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．

（1）求证：直线PC是⊙O的切线；

（2）若AB=，AD=2，求线段PC的长．

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，证明∠OCE+∠PCB=90°即可；

（2）由平行四边形的性质得到BC=2，根据垂径定理得到BE=1，再根据勾股定理得到AE=3，在Rt△OCE中，根据勾股定理得到半径，最后根据△OCE∽△CPE，得到PC的长．

试题解析：（1）连接OC．∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴FA⊥BC，∵FA经过圆心O，∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∴∠COF=2∠BAF，∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF，∵∠OCE+∠COF=180°-∠OEC=90°，∴∠OCE+∠PCB=90°，∴OC⊥PC，∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线；

（2） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2，∴BE=CE=1，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

AB=，∴AE==3 ，设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3－r， ，在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∴，∴ ，解得，∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP =90°，∴△OCE∽△CPE，∴，∴，∴．

考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质；3．垂径定理．