Question

【题目】如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，OD⊥AB于点O，且∠ODC=2∠A．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB=6，tan∠A=，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4.

【解析】分析：（1）连接OC，求出∠ODC=∠B，求出∠OCD=90°，根据切线的判定得出即可；

（2）过点C作CH⊥AB于点H，解直角三角形求出BC，解直角三角形求出CH和BH，证Rt△DOC∽Rt△OCH，得出比例式，即可求出答案．

（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∴∠BOC=2∠A，

又∵∠ODC=2∠A，

∴∠ODC=∠BOC，

∵OD⊥AB，即∠BOC+∠COD=90°，

∴∠ODC+∠COD=90°，

∴∠OCD=90°，

即CD⊥OC，

又∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，

∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，

∴∠ACB=90°，

又∵∠CBH=∠ABC，

∴∠BCH=∠A，

在Rt△ABC中，AB=6，tan∠A=，

设BC=x，则AC=3x，由勾股定理得：x2+（3x）2=62，

解得：x2=，

即BC2=，

又在Rt△BCH中，tan∠BCH=，

BH2+CH2=BC2，

即BH2+（3BH）2=，

解得：BH=CH=，

∵OB=OC=3，

∴OH=，

又∵Rt△DOC∽Rt△OCH，

∴，

则CD==3×÷=4．