Question

18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C在x轴的负半轴上，并且OC=OB，一动点P在射线AB上运动，连结CP交y轴于点D，连结BD．过B，P，D三点作圆，交y轴与点E，过点E作EF∥x轴，交圆于点F，连结BF，DF．
（1）求点C的坐标．
（2）若动点P在线段AB上运动，
①求证∠EDB=∠ADP；
②设AP=n，CP=m，求当n为何值时，m的值最小？最小值是多少？
（3）试探究：点P在运动的过程中，当△BDF为直角三角形，并且两条直角边之比为2：1时，请直接写出OD的长$\frac{6}{11}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）令x=0，得点A的坐标，令y=0得B点的坐标，由OC=OB得点C的坐标；
（2）①首先利用SAS定理判定△DOC≌△DOB，由全等三角形的性质易得∠CDO=∠BDO，由对顶角的性质易得∠CDO=∠ADP，等量代换得∠BDE=∠ADP；②要使CP的长最短，则需CP⊥AB，由∠CBP=∠ABO，∠AOB=∠CPB=90°易得Rt△BPC∽Rt△BOA，由相似三角形的性质易得$\frac{AO}{CP}=\frac{AB}{BC}=\frac{BO}{BP}$，代入数值解得m，n；
（3）分两种情况①当BD：BF=2：1时，②当$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$时，分别作出辅助线求解．

解答 解：（1）令x=0，则y=4，
∴A（0，4），
令y=0，则-$\frac{4}{3}x$+4=0，x=3，
∴B（3，0），
又∵OC=OB=3，且点C在负半轴上，
∴C点的坐标为（-3，0）；
（2）①在△DOC与△DOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠DOB=∠DOC}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△DOC≌△DOB（SAS），
∴∠CDO=∠BDO，
又∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDO=ADP，
即∠BDE=∠ADP；
②要使CP的长最短，则需CP⊥AB，
∴∠CPB=90°，
∵∠CBP=∠ABO，
∠AOB=∠CPB=90°，
∴Rt△BPC∽Rt△BOA，
∴$\frac{AO}{CP}=\frac{AB}{BC}=\frac{BO}{BP}$，
∴$\frac{4}{m}$=$\frac{5}{6}$=$\frac{3}{5-n}$，
解得：n=$\frac{7}{5}$，m=$\frac{24}{5}$，
即n=$\frac{7}{5}$时，m有最小值，最小值为$\frac{24}{5}$；
（3）①当BD：BF=2：1时，
如图1，过点F作FH⊥OB于点H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴$\frac{OB}{HF}$=$\frac{OD}{HB}$=$\frac{BD}{FB}$=2，
∴FH=$\frac{3}{2}$，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四边形OEFH是矩形，
连结PE，
∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∴∠DFE=∠OAB，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{DE}{EF}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{DE}{EF}$，
∴DE=$\frac{3}{4}$EF，
∴OD+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$×（3-$\frac{1}{2}$OD），解得OD=$\frac{6}{11}$；
②当$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$时，
如图2，连结EB，过点F作FG⊥OB于点G，

同理可得DE=$\frac{3}{4}$EF，
同理可得：△BOD∽△FGB，
∴$\frac{OB}{GF}$=$\frac{OD}{GB}$=$\frac{BD}{FB}$=$\frac{1}{2}$，
∴FG=6，OD=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四边形OEFG是矩形，
6-OD=$\frac{3}{4}$×（3+2OD），解得OD=$\frac{3}{2}$．
综上所述：当△BDF为直角三角形，并且两条直角边之比为2：1时，OD的长为$\frac{6}{11}$或$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{6}{11}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了圆的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆周角及相似三角形的判定及性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，分两种情况求解．