Question

如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB，连接BO并延长与切线PA相交于点Q．求证：
（1）PB是⊙O的切线；
（2）AQ•PQ=OQ•BQ．

Answer 1

证明：（1）连结OA、OP，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；

（2）∵∠OBP=∠OAP=90°，
而∠AQO=∠BQP，
∴Rt△PBQ∽Rt△OAQ，
∴PQ：OQ=BQ：AQ，
∴AQ•PQ=OQ•BQ．
分析：（1）连结OA、OP，由PA是⊙O的切线，根据切线的性质得∠OAP=90°，则可根据“SSS”判断△PAO≌△PBO，则∠OBP=∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到PB是⊙O的切线；
（2）由于∠AQO=∠BQP，根据三角形相似的判定可得到Rt△PBQ∽Rt△OAQ，由相似的性质得PQ：OQ=BQ：AQ，然后根据比例性质即可得到结论．
点评：本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了相似三角形的判定与性质．