Question

求下列不定方程的正整数解：
（1）x²-3xy+2y³=0；
（2）x²-y²+2y-61=0．

Answer 1

考点：非一次不定方程（组）

专题：

分析：（1）将不定方程看成解关于x的一元二次方程计算，利用根的存在性判别方法求解，结合x和y都是正整数，解出x和y的值．
（2）将不定方程看成解关于y的一元二次方程计算，利用根的存在性判别方法求解，结合x和y都是正整数，解出x和y的值．

解答：解：（1）解关于x的一元二次方程得：
x=

3y± 9y2-4×2y3

2

=

3±y (9-8y)

2

∵x²-3xy+2y³=0方程有正整数解
∴9-8y是完全平方数且9-8y≥0
∴0＜y≤9/8
∴y=1，代入x²-3xy+2y³=0得：
x²-3x+2=0
解得：x₁=1，x₂=2
故该不定方程的正整数解为

x1=1 y1=1

 ，

x2=2 y2=1

（2）∵x²-y²+2y-61=0
∴y²-2y-x²+61=0
解关于y的一元二次方程得：
y=

2± 4-4(61-x2)

2

=1±

x2-60

∵x，y为正整数，
∴x²-60为完全平方数
设x²-60=a²（a≥0）
∴（x+a）（x-a）=60
∵x+a＞0且x+a与x-a奇偶性相同

x+a=30，10 x-a=2，6

∴

x=16 a=14

或

x=8 a=2

∴

x=16 y=15

或

x=8 y=3

．

点评：本题考查一元二次方程整数根及有理根．解决本题的关键是首先根据方程的特点，将两个方程进行灵活变形，再求解方程．