Question

【题目】如图示，在平面直角坐标系中，二次函数（）交轴于，，在轴上有一点，连接.

（1）求二次函数的表达式；

（2）点是第二象限内的点抛物线上一动点

①求面积最大值并写出此时点的坐标；

②若，求此时点坐标；

（3）连接，点是线段上的动点.连接，把线段绕着点顺时针旋转至，点是点的对应点.当动点从点运动到点，则动点所经过的路径长等于______（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，点坐标为；②；（3）

【解析】

（1）根据点坐标代入解析式即可得解；

（2）①由A、E两点坐标得出直线AE解析式，设点坐标为，过点作轴交于点，则坐标为，然后构建面积与t的二次函数，即可得出面积最大值和点D的坐标；

②过点作，在中，由，，得出点M的坐标，进而得出直线ME的解析式，联立直线ME和二次函数，即可得出此时点D的坐标；

（3）根据题意，当点P在点C时，Q点坐标为（-6,6），当点P移动到点A时，Q′点坐标为（-4，-4），动点所经过的路径是直线QQ′，求出两点之间的距离即可得解.

（1）依题意得：，解得

∴

（2）①∵，

∴设直线AE为

将A、E代入，得

∴

∴直线

设点坐标为，其中

过点作轴交于点，则坐标为

∴

∴

即：

由函数知识可知，当时，，点坐标为

②设与相交于点

过点作，垂足为

在中，，，

设，则，

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴（舍去），

当时，

∴

（3）当点P在点C时，Q点坐标为（-6,6），当点P移动到点A时，Q′点坐标为（-4，-4），如图所示：

∴动点所经过的路径是直线QQ′，

∴

故答案为.