Question

【题目】如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．

（1）求证：∠BAP＝∠CAP；

（2）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若AB＝5，BC＝10，求PC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PC与圆O相切，理由见解析；（3）

【解析】

（1）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论；
（2）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM=CM=BC=5，根据等腰三角形性质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM的长度，设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM-r=5-r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r=3，由CE=2r，利用中位线性质得BE的长度，然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出PC．

（1）证明：∵AD是⊙O的切线，

∴OA⊥AD，

∵BC∥AD，

∴OA⊥BC，

∴弧BE＝弧CF，

∴∠BAP＝∠CAP；

（2）PC与圆O相切，理由为：

过C点作直径CE，连接EB，如图，

∵CE为直径，

∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°，

∵AB∥DC，

∴∠ACD＝∠BAC，

∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．

∴∠E＝∠BCP，

∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，

∴CE⊥PC，

∴PC与圆O相切；

（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，

∴OA⊥AD，

∵BC∥AD，

∴AM⊥BC，

∴BM＝CM＝BC＝5，

∴AC＝AB＝5，

在Rt△AMC中，AM＝＝5，

设⊙O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝5﹣r，

在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即+52＝r2，

解得：r＝3；

∴CE＝2r＝6，OM＝5﹣r＝2，

∴BE＝2OM＝4，

∵∠E＝∠MCP，

∴Rt△PCM∽Rt△CEB，

∴＝，

即＝，

∴PC＝．