Question

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，最低点为M，且S_△AMB=$\frac{5}{6}$
（1）求此抛物线的解析式，并说明这条抛物线是由抛物线y=ax² 怎样平移得到的；
（2）如果点P由点A开始沿着射线AB以2cm/s的速度移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时运动结束；
①在运动过程中，P、Q两点间的距离是否存在最小值？如果存在，请求出它的最小值；
②当PQ取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是梯形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过M作MN⊥x轴于N，交AB于Q，求出A、B、M的坐标，代入即可求出解析式，化成顶点式，即可得出答案；
（2）①根据勾股定理求出PQ²=（2-2t）²+t²=5（t-$\frac{4}{5}$）²+$\frac{4}{5}$，即可得出答案；②分为两种情况：第一种情况：当AB∥QR时，
由①知：t=$\frac{4}{5}$，求出BQ=$\frac{4}{5}$，CQ=2-$\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$，把y=-$\frac{6}{5}$代入抛物线的解析式求出即可；第二种情况：当BR∥PQ时，求出即可．

解答 解：（1）
过M作MN⊥x轴于N，交AB于Q，如图1，
∵正方形OABC的边长为2cm，
∴OA=AB=BC=OC=2cm，
∴A（0，-2），B（2，-2），AQ=BQ=1cm，
∵S_△AMB=$\frac{5}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$×2×MQ=$\frac{5}{6}$，
MQ=$\frac{5}{6}$，
即M的坐标为（1，$\frac{17}{6}$），
把A、B、M的坐标代入y=ax²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{4a+2b+c=-2}\\{a+b+c=\frac{17}{6}}\end{array}\right.$
解得：a=$\frac{5}{6}$，b=-$\frac{5}{3}$，c=-2，
即此抛物线的解析式是y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{5}{3}$x-2，
即y=$\frac{5}{6}$（x-1）²-$\frac{17}{6}$，
所以这条抛物线是由抛物线y=ax² 向右1个单位长度，向下$\frac{17}{6}$个单位长度得到的；

（2）①PQ²=（2-2t）²+t²=5（t-$\frac{4}{5}$）²+$\frac{4}{5}$，
当t=$\frac{4}{5}$时，最小值$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
即在运动过程中，P、Q两点间的距离存在最小值，它的最小值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，

②分为两种情况：如图2，第一种情况：当AB∥QR时，

由①知：t=$\frac{4}{5}$，BQ=$\frac{4}{5}$，CQ=2-$\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$，
所以把y=-$\frac{6}{5}$代入抛物线的解析式得：$\frac{5}{6}$（x-1）²-$\frac{17}{6}$=-$\frac{6}{5}$，
解得：x₁=$-\frac{2}{5}$，x₂=$\frac{12}{5}$
当x₁=$-\frac{2}{5}$时，说明P、B、Q、R为顶点的四边形是梯形，
当x₂=$\frac{12}{5}$时，PBRQ为平行四边形，舍去，
第二种情况：当BR∥PQ时，与x₂=$\frac{12}{5}$的情况相同，故此时不存在梯形，
∴R（$\frac{12}{5}$，-$\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查了二次函数的最值，用待定系数法求二次函数的解析式，梯形的性质，平行四边形的性质的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大．