Question

3．如图所示，已知，在△ABC中，∠CBA=90°，∠A=30°，BC=3，D是边AC上的一个动点，DE⊥AB，垂足为E．点F在CD上，且DE=DF，作FP⊥EF，交线段AB于点P，交线段CB的延长线于点G．
（1）求证：AF=FP．
（2）设AD=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
（3）若点P到AC的距离等于线段BP的长，求线段AD的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠ADE=60°，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠DFE=∠DEF=$\frac{1}{2}$∠ADE=30°，求出∠PFA=120°，由三角形内角和得出∠FPA=∠A，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得出DF=DE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，FP=AP$\frac{3}{2}$x，求出BG=$\frac{1}{2}$GP=$\frac{1}{2}$y，证出△GCF是等边三角形，得出GC=GF，即$\frac{1}{2}$y+3=y+$\frac{3}{2}$x，即可得出结果；（3）若点P到AC的距离等于线段BP的长，则P为GF的中点，得出6-3x=$\frac{3}{2}$x，解方程即可．

解答 （1）证明：∵DE⊥AB，∠A=30°，
∴∠ADE=60°，
∵DE=DF，
∴∠DFE=∠DEF=$\frac{1}{2}$∠ADE=30°，
∵FP⊥EF，
∴∠PFE=90°，
∴∠PFA=90°+30°=120°，
∴∠FPA=30°=∠A，
∴AF=FP；
（2）解：∵DE⊥AB，∠A=30°，
∴DF=DE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，
∴FP=AP=x+$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{2}$x，
∵∠BPG=∠FPA=30°，∠PBG=180°-∠CBA=90°，
∴BG=$\frac{1}{2}$GP=$\frac{1}{2}$y，∠G=90°-30°=60°，
∵∠C=90°-30°=60°，
∴△GCF是等边三角形，
∴GC=GF，
即$\frac{1}{2}$y+3=y+$\frac{3}{2}$x，
∴y=6-3x（0＜x＜2）；
（3）解：若点P到AC的距离等于线段BP的长，则P为GF的中点，
∴GP=FP，
即6-3x=$\frac{3}{2}$x，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
即线段AD的长为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．