Question

（1） 已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且 ∠DCE=45°. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；
（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值。

Answer 1

解：（1）证明：如图①，∵∠ACB=90°，AC=BC，  ∴∠A=∠B=45° 以CE为一边作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，则CF=CB=AC 连接DF、EF，则△CFE≌△CBE ∴FE=BE，∠1=∠B=45° ∵∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°     ∴∠DCA+∠ECB=45° ∴∠DCF=∠DCA  ∴△DCF≌△DCA ∴∠2=∠A=45°，DF=AD  ∴∠DFE=∠2+∠1=90° ∴△DFE是直角三角形 又AD=DF，EB=EF， ∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形 （2）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形， 如图②，与（1）类似，以CE为一边，作 ∠ECF=∠ECB， 在CF上截取CF=CB，可得 △CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA ∴AD=DF，EF=BE. ∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120° 若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE ∴当AD=BE时  线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形且顶角∠DFE为120° （3）证明：如图①， ∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠CDB=∠ACD+∠A 又∠DCE=∠A=45° ∴∠ACE=∠CDB. 又∠A=∠B， ∴△ACE∽△BDC ∴  ∴ ∵Rt△ACB中，由得 ∴