题目内容
已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1，
（Ⅰ）求BC、AP1的长；
（Ⅱ）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；
（Ⅲ）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围．
分析：（I）根据题意可求出点B的坐标，从而得出BC的长，再证明Rt△BP1A∽Rt△CAB．即可求出AP1的长；
（II）过P作BC的垂线，则可证明四边形P1PEB为平行四边形，∴Rt△BAP1≌Rt△PGE，则s=-2m+9.1≤m＜4．
（III）由△EFC∽△ABC，则EC，PE，PF，再由△EFC∽△PFA，得出AP，再根据当AP=5-
时，外切；当AP＞5-
时，相交；当AP＜5-
时，外离三种情况得出答案．
（II）过P作BC的垂线，则可证明四边形P1PEB为平行四边形，∴Rt△BAP1≌Rt△PGE，则s=-2m+9.1≤m＜4．
（III）由△EFC∽△ABC，则EC，PE，PF，再由△EFC∽△PFA，得出AP，再根据当AP=5-
| 5 |
| 5 |
| 5 |
解答：解：（Ⅰ）∵点在直线y=2x+1上，
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P1为圆心，F1为P1与直线AC的切点，
∴P1F1⊥AC，∠BAF1+∠ABF1=90°．
又∵∠AP1F1+∠ABF1=90°，
∴∠AP1F1=∠BAF1．
在Rt△ABC和Rt△P1AB中，
∵∠BP1A=∠CAB，
∴Rt△BP1A∽Rt△CAB．
∴
=
，AP1=
=
=1；
（Ⅱ）PD=4-m，过P作BC的垂线，垂足为G，
∵PF∥P1F1，P1P∥BE，
∴四边形P1PEB为平行四边形，
∴P1B=PE．
又PG=AB，
∴Rt△BAP1≌Rt△PGE，AP1=GE=1．
∴EC=CG+GE=PD+GE=5-m，
∴s=-2m+9．（6分）
1≤m＜4；
（Ⅲ）当EF=1时，
∵△EFC∽△ABC，
∴
=
=
，EC=
，
∵PE=BP1=
=
，
∴PF=PE-EF=
-1
又△EFC∽△PFA，
∴
=
，AP=
=5-
，
当AP=5-
时，外切；
当AP＞5-
时，相交；
当AP＜5-
时，外离．
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P1为圆心，F1为P1与直线AC的切点，
∴P1F1⊥AC，∠BAF1+∠ABF1=90°．
又∵∠AP1F1+∠ABF1=90°，
∴∠AP1F1=∠BAF1．
在Rt△ABC和Rt△P1AB中，
∵∠BP1A=∠CAB，
∴Rt△BP1A∽Rt△CAB．
∴
| AB |
| BC |
| AP1 |
| AB |
| AB2 |
| BC |
| 22 |
| 4 |
（Ⅱ）PD=4-m，过P作BC的垂线，垂足为G，
∵PF∥P1F1，P1P∥BE，
∴四边形P1PEB为平行四边形，
∴P1B=PE．
又PG=AB，
∴Rt△BAP1≌Rt△PGE，AP1=GE=1．
∴EC=CG+GE=PD+GE=5-m，
∴s=-2m+9．（6分）
1≤m＜4；
（Ⅲ）当EF=1时，
∵△EFC∽△ABC，
∴
| EF |
| EC |
| AB |
| AC |
| ||
| 5 |
| 5 |
∵PE=BP1=
| AB2+AP12 |
| 5 |
∴PF=PE-EF=
| 5 |
又△EFC∽△PFA，
∴
| EC |
| EF |
| AP |
| PF |
| EC×PF |
| EF |
| 5 |
当AP=5-
| 5 |
当AP＞5-
| 5 |
当AP＜5-
| 5 |
点评：本题是一个综合性的题目，考查的知识点有：相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系以及一次函数问题，综合性较强．
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