Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从点A往点B方向运动，速度为2，点Q从点B往点C方向运动，速度为1，设运动时间为t．
（1）t取何值时以B，P，Q为顶点的三角形为直角三角形；
（2）t取何值时△BPQ面积为△ABC面积的一半．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理求得BA的长，然后利用相似三角形的性质列出方程求解即可；
（2）根据三角形的面积公式列方程求解即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=10．
当∠PQB=90°时，
∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△PQB．
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{10-2t}{10}=\frac{t}{8}$．
解得：t=$\frac{40}{13}$．
当∠QPB=90°时，
∵∠QPB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△QPB．
∴$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，即$\frac{10-2t}{8}=\frac{t}{10}$．
解得：t=$\frac{25}{7}$．
答：t=$\frac{40}{13}$s或t=$\frac{25}{7}$s时，△BPQ为直角三角形．
（2）如图所示：过点P作PD⊥BC，垂足为D．

∵∠C=∠PDB=90°，∠B=∠B，
∴△BDP∽△BCA．
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{PD}{AC}$，即$\frac{10-2t}{10}=\frac{PD}{6}$．
∴PD=6-$\frac{6}{5}t$．
由三角形的面积公式得：$\frac{1}{2}t•（6-\frac{6}{5}t）=\frac{1}{2}×6×8$×$\frac{1}{2}$，
整理得：t²-5t+10=0，
∵△=（-5）²-4×1×10=-15＜0，
∴方程无解．
∴不存在时间t使的△BPQ的面积为△ACB面积的一半．

点评 本题主要考查的是一元二次方程的应用，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．