题目内容
【题目】如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝
cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒
cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝
x 2＋bx＋c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
【答案】（1）S△OPQ＝－
t2＋
t（0＜t＜8）；（2）四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于
；（3）3:29 .
【解析】试题分析：（1）根据
的运动速度，可用
表示出
的长，进而根据
的长求出
的表达式，即可由三角形的面积公式得到
的函数关系式；
（2）四边形
的面积，可由矩形
的面积差求得，进而可得到所求的定值；
（3）若
与
和
相似，那么
必为直角三角形，且
由于
所以这三个相似三角形的对应关系是
根据相似三角形得到的比例线段求出
的值，进而可确定点P的坐标，求出抛物线和直线
的解析式；可设
点的横坐标为
，根据直线
和抛物线的解析式，求出
的纵坐标，进而可得到关于
的长与
的函数关系式，根据函数的性质即可求出
的最大值及对应的
点坐标；设
与直线
的交点为
，根据
点的坐标和直线
的解析式即可求出
点的坐标，也就能得到
的长，以
为底， 
横坐标差的绝对值为高，可求出
的面积，进而可根据四边形
的面积求出五边形
的面积，由此可求出它们的比例关系式．
试题解析：（1）
∴S△OPQ＝
(8－t)·
t＝－
t2＋
t（0＜t＜8）.
（2）∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ.
＝8×
－
×
t－
×8×(
－
t)＝
.
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于
.
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°.
又∵BQ与AO不平行，∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ.
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP.
∴
＝
，即
＝
，解得：t＝4.
经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度考虑）此时P（
，0）.
∵B（
，8）且抛物线y＝
x2＋bx＋c经过B、P两点,
∴抛物线是y＝
x2－
x＋8，直线BP是y＝
x－8.
设M（m， 
m－8），则N（m， 
m2－
m＋8）.
∵M是BP上的动点，∴
≤m≤
.
∵y1＝
x2－
x＋8＝
( x－
)2.
∴抛物线的顶点是P（
，0）.
又y1＝
x2－
x＋8与y2＝
x－8交于P、B两点,
∴当
≤m≤
时，y2＞y1.
∴|MN |＝|y2－y1|＝y2－y1＝(
m－8)－(
m2－
m＋8).
＝－
m2＋
m－16＝－
(m－
)2＋2.
∴当m＝
时，MN有最大值是2，此时M（
，4）.
设MN与BQ交于H点，则H（
，7）.
∴S△BHM＝
×3×
＝
.
∴S△BHM：S五边形QOPMH ＝
:(
－
)＝3:29.
∴当线段MN的长取最大值时，直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比为3:29 .
