Question

【题目】解答下列各题

（1）已知：如图1，直线AB、CD被直线AC所截，点E在AC上，且∠A＝∠D+∠CED，求证：AB∥CD；

（2）如图2，在正方形ABCD中，AB＝8，BE＝6，DF＝4．

①试判断△AEF的形状，并说明理由；

②求△AEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①△AEF是直角三角形，理由详见解析；②20．

【解析】

（1）延长AC至F，证明∠FCD＝∠A，则结论得证；

（2）①延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，可得AF＝FG，然后求出AE＝EG，由等腰三角形的性质可得△AEF是直角三角形；

②根据S△AEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF进行计算即可．

解：（1）延长AC至F，如图1，

∵∠FCD＝∠CED+∠D，∠A＝∠D+∠CED，

∴∠FCD＝∠A，

∴AB∥CD；

（2）①如图2，延长AF交BC的延长线于点G，

∵正方形ABCD中，AB＝8，DF＝4，

∴DF＝CF＝4，

∵∠D＝∠FCG＝90°，∠AFD＝∠CFG，

∴△ADF≌△GCF（ASA），

∴AF＝FG，AD＝GC＝8，

∵AB＝8，BE＝6，

∴AE＝＝＝10，CE＝2，

∵EG＝CE+CG＝2+8＝10，

∴AE＝EG，

∴EF⊥AG，

∴△AEF是直角三角形；

②∵AB＝AD＝8，DF＝CF＝4，BE＝6，CE＝2，

S△AEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF，

＝，

＝64－24－16－4，

＝20．