Question

14．如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为2π+4．

Answer 1

分析 连接HO，延长HO交CD于点P，证四边形AHPD为矩形知HF为⊙O的直径，同理得EG为⊙O的直径，再证四边形BGOH、四边形OGCF、四边形OFDE、四边形OEAH均为正方形得出圆的半径及△HGF为等腰直角三角形，根据阴影部分面积=$\frac{1}{2}$S_⊙O+S_△HGF可得答案．

解答 解：如图，连接HO，延长HO交CD于点P，

∵正方形ABCD外切于⊙O，
∴∠A=∠D=∠AHP=90°，
∴四边形AHPD为矩形，
∴∠OPD=90°，
又∠OFD=90°，
∴点P于点F重合，
则HF为⊙O的直径，
同理EG为⊙O的直径，
由∠B=∠OGB=∠OHB=90°且OH=OG知，四边形BGOH为正方形，
同理四边形OGCF、四边形OFDE、四边形OEAH均为正方形，
∴BH=BG=GC=CF=2，∠HGO=∠FGO=45°，
∴∠HGF=90°，GH=GF=$\sqrt{G{C}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$
则阴影部分面积=$\frac{1}{2}$S_⊙O+S_△HGF
=$\frac{1}{2}$•π•2²+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$
=2π+4，
故答案为：2π+4．

点评 本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质、矩形的判定得出圆的半径是解题的关键．