Question

如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．

Answer 1

解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四边形AGEF是菱形．
（2）连接ON，
∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，∴ON⊥BC，
∵点O是AE的中点，
∴ON是梯形ABCE的中位线，
∴点N是线段BC的中点．
（3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，
∴OE=OA=ON=2，故可得AE=AB=4，在RT△ADE中，AD=2，AE=4，
∴∠AED=30°，在RT△OEF中，OE=2，∠AED=30°，
∴，
故可得FG=