Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为等边三角形，点A的坐标是（4

3

，0），点B在第一象限，AC是∠OAB的平分线，并且与y轴交于点E，点M为直线AC上一个动点，把△AOM绕点A顺时针旋转，使边AO与边AB重合，得到△ABD．
（1）求直线OB的解析式；
（2）当点M与点E重合时，求此时点D的坐标；
（3）设点M的纵坐标为m，求△OMD的面积S关于m的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）根据点A的坐标及△AOB为等边三角形求出点B的坐标，然后利用待定系数法求直线OB的解析式；
（2）过点D作DA⊥x轴，则点D的横坐标与点A的横坐标相同，纵坐标等于AE的长度，在Rt△AOE中，∠OAE=30°，利用30°角的余弦即可求解；
（3）根据点A的坐标求出等边三角形的高是4，过点M作MN垂直x轴于点N，然后分①m＞4时，②2＜m＜4时，③0＜x＜2时，④m＜0时点M的不同位置，根据△OMD的面积S，梯形ADMN的面积，△MNO的面积，△AOD的面积之间的关系列式分别求解．

解答：解：（1）点A的坐标是（4

3

，0），
4

3

÷2=2

3

，4

3

sin60°=6，
∴点B的坐标是B（2

3

，6），
设直线OB的解析式是y=kx，
则2

3

k=6，
解得k=

3

，
∴直线OB的解析式是y=

3

x；

（2）如图1，由题意DA⊥x轴，∠EAO=∠BAD=30°．
∴点D的横坐标为4

3

；                …（3分）
此时DA=AE=

OA

cos30°

=

4 3

3 2

=8，
∴点D的坐标是（4

3

，8）．…（4分）


（3）过M作MN⊥x轴，则MN=|m|，∠MAN=30°，
当m＞4时，AN=MNcot30°=

3

m，DA=AM=m÷sin30°=2m，
①如图2，S=S_梯形ADMN-S_△OMN-S_△AOD，
=

1

2

（m+2m）•

3

m-

1

2

（

3

m-4

3

）•m-

1

2

×4

3

×2m，
=

3

m²-2

3

m；…（5分）
②如图3，当2＜m≤4时，S=S_梯形ADMN+S_△OMN-S_△AOD，
=

1

2

（m+2m）•

3

m+

1

2

（4

3

-

3

m）•m-

1

2

×4

3

×2m，
=

3

m²-2

3

m； …（6分）
③如图4，当0≤m≤2时，S=S_△AOD-S_△OMN-S_梯形ADMN，
=

1

2

×4

3

×2m-

1

2

（4

3

-

3

m）•m-

1

2

（m+2m）•

3

m，
=-

3

m²+2

3

m；             …（7分）
④如图5，当m＜0时，S=S_梯形ADMN+S_△AOD-S_△OMN，
=

1

2

（m+2m）•

3

m+

1

2

×4

3

×2m-

1

2

（

3

m+4

3

）•m，
=

3

m²+2

3

m；        …（8分）
∴S=

3  m2-2 3m ，(m＞2)  - 3 m2+2 3 m，(0≤m≤2)   3 m2+2 3 m，(m＜0)

．
（四种情况讨论正确一种给1分）

点评：本题是对一次函数的综合考查，包括待定系数法求函数解析式，等边三角形的每一个角都是60°，三边都相等，旋转变换的性质，（3）中要注意分情况讨论，比较麻烦，计算时一定要细心．