Question

如图，AB为⊙O的直径，D为AB上一点，且AB=5AD，CD⊥AB，垂足为D，C在圆上，设∠COD=α，则sin

α

2

=

 

．

Answer 1

分析：由同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，得到所求式子的角

α

2

与角B相等，求出sinB即可求出所求的，方法为：根据题中所给的条件设出AD=x，AB=5x，可将OD和OC的值表示出来，在直角三角形OCD中，根据勾股定理表示出CD，在直角三角形ADC中，再利用勾股定理表示出AC，最后在直角三角形ABC中，根据锐角三角函数的定义，即可求出sinB的值，即为所求sin

α

2

的值．

解答：解：设AD=x，则AB=5x，即⊙O的直径为5x，
∴OA=OC=

1

2

×5x=

5x

2

，OD=OA-AD=

3x

2

，
∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，
∵圆心角∠AOC=α与圆周角∠B所对的弧都为

AC

，
∴∠B=

1

2

∠AOC=

α

2

，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：CD²+OD²=OC²，
∴CD=2x，
在Rt△ACD中，AD=x，CD=2x，
根据勾股定理得：AC=

5

x，
在Rt△ABC中，sinB=sin

α

2

=

5 x

5x

=

5

5

．

点评：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．