Question

【题目】在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：

已知：是等边三角形，点是内一点，连接，将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，，，并延长交于点．当点在如图所示的位置时：

（1）观察填空：

①与全等的三角形是________；

②的度数为　　　　　　　

（2）利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆；

（3）直接写出线段，，之间的数量关系．____________________．

Answer 1

【答案】（1）①：②；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）①根据旋转的性质和等边三角形的性质可证△ACD≌△BCE；

②根据已推导出的全等三角形和三角形内角和进行角度转化，可得∠AFB的大小；

（2）根据△ACD≌△BCE得，推导得出四边形CDFE中，从而证共圆；

（3）先推导出△BDF是等边三角形，可证△ABD≌△CBP，得出AD=FC，从而得出数量关系．

（1）①∵△ABC是等边三角形

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°

∵将线段绕逆时针旋转得到线段

∴CE=CD，∠DCE=60°

∴△DCE是等边三角形

∴∠DCE=60°

∵∠ACD+∠DCB=60°，∠BCE+∠DCB=60°

∴∠ACD=∠BCE

∴△ACD≌△BCE(SAS)

②∵△ACD≌△BCE

∴∠EBC=∠DAC

∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°

∴∠FBC+∠BAD=60°

∴∠AFB=180°－∠ABC－∠FBC－∠BAF=180°－60°－60°=60°

（2）∵．

∴，

∵，

∴．

∴，，，四点共圆；

（证明不唯一）

（3）结论：,如下图,连接BD

∵△ACD≌△BCE

∴∠CBE=∠CAD，AD=BE

∵∠CAD+∠BAD=60°，∠BAD+∠FBC=60°

∴∠BAD+∠ABD=∠BDF=60°

∵∠AFB=60°

∴△BDF是等边三角形

∴DF=BF,∴FD+FE=BE

∴△ABD≌△CBF(SAS)

∴AD=FC

∴FD+FE=FC