Question

如图是二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）．

（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S_△PAB=S_△MAB？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点C在x轴上一动点，以BC为边作正方形BCDE，正方形BCDE还有一个顶点（除点B外）在抛物线上，请写出满足条件的点E的坐标；

（4）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象至少有三个公共点时，请直接写出b的取值范围是　      　．

Answer 1

 解：（1）∵M（1，﹣4）是二次函数y=（x+m）²+k的顶点坐标，

∴y=（x﹣1）²﹣4=x²﹣2x﹣3，

当x²﹣2x﹣3=0，解得x₁=﹣1，x₂=3．

∴A、B两点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）在二次函数的图象上存在点P，使

设p（x，y），则，又，

∴2|y|=×8，即y=±5，    ∵二次函数的最小值为﹣4，   ∴y=5．

当y=5时，x=﹣2或x=4．  ∴P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；

（3）不妨设点E在抛物线y=x²﹣2x﹣3上，C点的坐标为（m，0）．

当BC为正方形BCDE的边时，则E点的坐标为（m，m²﹣2m﹣3）．

∵四边形BCDE是正方形，

∴BC=DE，      ∴|m﹣3|=|m²﹣2m﹣3|，  即m﹣3=m²﹣2m﹣3，或m﹣3=﹣（m²﹣2m﹣3），

解得m₁=0，m₂=3，或m₁=﹣2，m₂=3，

当m=3时，C点与B点重合，不合题意，舍去，

∴E点的坐标为（0，0）或（﹣2，0），则B₁（3，4），B₂（3，﹣4），

（4）如图3，依题意知，当﹣1≤x≤3时，翻折后的抛物线的解析式为：y=﹣x²+2x+3

与直线y=x+b与新抛物线有1个交点时，﹣x²+2x+3=x+b，即x²﹣x﹣3﹣b=0，

则△=（﹣1）²﹣4×（﹣3﹣b）=0，    解得 b=

当直线y=x+b经过A（﹣1，0）时﹣1+b=0，可得b=1，

由题意可知y=x+b在y=x+1的下方．由图可知符合题意的b的取值范围1≤b≤．